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本书阐述了求解微积分的技巧，详细讲解了微积分基础、极限、连续、微分、导数的应用、积分、无穷级数、泰勒级数与幂级数等内容，旨在教会读者如何思考问题，从而找到解题所需的知识点，着重训练大家自己解答问题的能力。

本书适用于大学低年级学生、高中高年级学生、想学习微积分的数学爱好者以及广大数学教师。本书既可作为教材、习题集，也可作为学习指南，同时还有利于教师备课。

译者序

前言

致谢

第1章　函数、图像和直线

1.1 函数

1.2 反函数

1.3 函数的复合

1.4 奇函数和偶函数

1.5 线性函数的图像

1.6 常见函数及其图像

第2章　三角学回顾

2.1 基本知识

2.2 扩展三角函数定义域

2.3 三角函数的图像

2.4 三角恒等式

第3章　极限导论

3.1 极限：基本思想

3.2 左极限与右极限

3.3 何时不存在极限

3.4 在∞和-∞处的极限

3.5 关于渐近线的两个常见误解

3.6 三明治定理

3.7 极限的基本类型小结

第4章　求解多项式的极限问题

4.1 x → a 时的有理函数的极限

4.2 x → a 时的平方根的极限

4.3 x → ∞ 时的有理函数的极限

4.4 x→∞时的多项式型函数的极限

4.5 x→-∞时的有理函数的极限

4.6 包含绝对值的函数的极限

第5章　连续性和可导性

5.1 连续性

5.2 可导性

第6章　求解微分问题

6.1 使用定义求导

6.2 用更好的办法求导

6.3 求切线方程

6.4 速度和加速度

6.5 导数伪装的极限

6.6 分段函数的导数

6.7 直接画出导函数的图像

第7章　三角函数的极限和导数

7.1 三角函数的极限

7.2 三角函数的导数

第8章　隐函数求导和相关变化率

8.1 隐函数求导

8.2 相关变化率

第9章　指数函数和对数函数

9.1 基础知识

9.2 e的定义

9.3 对数函数和指数函数求导

9.4 求解指数函数或对数函数的极限

9.7 双曲函数

第10章　反函数和反三角函数

10.1 导数和反函数

10.2 反三角函数

10.3 反双曲函数

第11章　导数和图像

11.1 函数的极值

11.2 罗尔定理

11.3 中值定理

11.4 二阶导数和图像

11.5 对导数为零点的分类

第12章　绘制函数图像

12.1 建立符号表格

12.2 绘制函数图像的全面方法

12.3 例题

第13章　最优化和线性化

13.1 最优化

13.2 线性化

13.3 牛顿法

第14章　洛必达法则及极限问题总结

14.1 洛必达法则

14.2 关于极限的总结

第15章　积分

15.1 求和符号

15.2 位移和面积

第16章　定积分

16.1 基本思想

16.2 定积分的定义

16.3 定积分的性质

16.4 求面积

16.5 估算积分

16.6 积分的平均值和中值定理

16.7 不可积的函数

第17章　微积分基本定理

17.1 用其他函数的积分来表示的函数

17.2 微积分的第一基本定理

17.3 微积分的第二基本定理

17.4 不定积分

17.5 怎样解决问题：微积分的第一基本定理

17.6 怎样解决问题：微积分的第二基本定理

17.7 技术要点

17.8 微积分第一基本定理的证明

第18章　积分的方法I

18.1 换元法

18.2 分部积分法

18.3 部分分式

第19章　积分的方法II

19.1 应用三角恒等式的积分

19.2 关于三角函数的幂的积分

19.3 关于三角换元法的积分

19.4 积分技巧总结

第20章　反常积分：基本概念

20.1 收敛和发散

20.2 关于无穷区间上的积分

20.3 比较判别法(理论)

20.4 极限比较判别法(理论)

20.5 p判别法(理论)

20.6 绝对收敛判别法

第21章　反常积分：如何解题

21.1 如何开始

21.2 积分判别法总结

21.3 常见函数在∞和-∞附近的表现

21.4 常见函数在0附近的表现

21.5 如何应对不在0或∞处的瑕点

第22章　数列和级数：基本概念

22.1 数列的收敛和发散

22.2 级数的收敛与发散

22.3 第n项判别法(理论)

22.4 无穷级数和反常积分的性质

22.5 级数的新判别法

第23章　求解级数问题

23.1 求几何级数的值

23.2 应用第n项判别法

23.3 应用比式判别法

23.4 应用根式判别法

23.5 应用积分判别法

23.6 应用比较判别法、极限比较判别法和p 判别法

23.7 应对含负项的级数

第24章　泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论

24.1 近似值和泰勒多项式

24.2 幂级数和泰勒级数

24.3 一个有用的极限

第25章　求解估算问题

25.1 泰勒多项式与泰勒级数总结

25.2 求泰勒多项式与泰勒级数

25.3 用误差项估算问题

25.4 误差估算的另一种方法

第26章　泰勒级数和幂级数：如何解题

26.1 幂级数的收敛性

26.2 合成新的泰勒级数

26.3 利用幂级数和泰勒级数求导

26.4 利用麦克劳林级数求极限

第27章　参数方程和极坐标

27.1 参数方程

27.2 极坐标

第28章　复数

28.1 基础

28.2 复平面

28.3 复数的高次幂

28.4 解 z^n＝ w

28.5 解 e^z ＝ w

28.6 一些三角级数

28.7 欧拉恒等式和幂级数

第29章　体积、弧长和表面积

29.1 旋转体的体积

29.2 一般立体体积

29.3 弧长

29.4 旋转体的表面积

第30章　微分方程

30.1 微分方程导论

30.2 可分离变量的一阶微分方程

30.3 一阶线性方程

30.4 常系数微分方程

30.5 微分方程建模

附录A 极限及其证明

A.1 极限的正式定义

A.2 由原极限产生新极限

A.3 极限的其他情形

A.4 连续与极限

A.5 再谈指数函数和对数函数

A.6 微分与极限

A.7 泰勒近似定理的证明

附录B 估算积分

B.1 使用条纹估算积分

B.2 梯形法则

B.3 辛普森法则

B.4 近似的误差

符号列表

索引

Adrian Banner，澳大利亚新南威尔士大学数学学士及硕士，普里斯顿大学数学博士。2002年起任职于 INTECH 公司，现为 INTECH 公司首席执行官兼首席投资官。同时在普林斯顿大学教学数学系任兼职教师。

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一个函数不一定要在左右两边有相同的水平渐近线

一个函数可能和它的渐近线相交

如果左极限和右极限不相等，那么总极限不存在（DNE）

将x的值代入表达式中

即使你掌握了所有的方法, 如果你不做大量的练习, 那么遇到实际问题时, 还是会陷入混乱.

书籍介绍

本书阐述了求解微积分的技巧，详细讲解了微积分基础、极限、连续、微分、导数的应用、积分、无穷级数、泰勒级数与幂级数等内容，旨在教会读者如何思考问题，从而找到解题所需的知识点，着重训练大家自己解答问题的能力。

本书适用于大学低年级学生、高中高年级学生、想学习微积分的数学爱好者以及广大数学教师。本书既可作为教材、习题集，也可作为学习指南，同时还有利于教师备课。