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中*科学院数学研究所*批中青年*发起组织了数学所讲座，介绍现代数学的重要内容及其思想、方法，*在开阔视野，增进交流，提高数学修养。本书的文章系根据2017年数学所讲座的8个报告的讲稿整理而成，按报告的时间顺序编排。具体的内容*括：模空间的故事：形变和刚性、广义相对论中的拟局*质量和等周曲面、法诺簇的代数K-稳定性理论、完全非线性偏微分方程及相关的几何问题、Langlands纲领的近期进展、几何与表示掠影、量子克隆、量子可积系统新进展——非对角BetheAnsatz方法。

目录

前言　

1　模空间的故事:形变和刚性　季理真　

1.1　简介　1

1.2　主要的刚性和形变定理　4　

1.2.1　关于刚性的*些结果　4　

1.2.2　关于形变的*些结果　6　

1.2.3　我们为什么会研究刚性?　7　

1.2.4　我们为什么会研究形变和模空间?　8　

1.2.5　刚性和形变之间的联系　9　

1.2.6　这些是怎么开始的?共同的根源是什么?　10　

1.3　黎曼曲面的定义和相关历史　10　

1.3.1　黎曼*初对模空间的定义　11　

1.3.2　抽象的黎曼曲面的形式定义　16　

1.4　紧黎曼曲面的模空间以及黎曼的数值方法　17　

1.4.1　黎曼给出的初始定义　18　

1.4.2　黎曼对模的计数　18　

1.4.3　黎曼为什么要用模这个名词?　20　

1.5　黎曼模问题　22　

1.5.1　黎曼对维数的计算　22　

1.5.2　数值模　24　

1.6　模空间在单值化定理中的第*个应用　25　

1.6.1　什么是单值化?　25　

1.6.2　克莱因和庞加莱对代数曲线的单值化　26　

1.6.3　赫尔维茨空间和塞维里簇　27　

1.6.4　布劳威尔和科比的工作:完善连续性方法　28　

1.6.5　弗里克空间　32　

1.7　托勒利定理、西格尔上半空间和数值模　34　

1.7.1　黎曼曲面的周期　34　

1.7.2　西格尔上半空间和托勒利定理　36

1.7.3　数值模　38　

1.8　泰希米勒关于模空间的工作:标记的黎曼曲面、泰希米勒空间、细模空间　38　

1.8.1　泰希米勒问了哪些问题?　39　

1.8.2　泰希米勒做了什么?　41　

1.8.3　泰希米勒为什么要研究模空间?　47　

1.9　泰希米勒理论　52　

1.9.1　韦伊在泰希米勒空间上的工作与猜想　52　

1.9.2　阿尔福斯和贝尔斯在泰希米勒空间上的工作　53　

1.9.3　格罗滕迪克在泰希米勒空间上的工作　55　

1.10　泰希米勒上的合适的复结构　58　

1.10.1　阿尔福斯、劳赫和贝尔斯定义的Tg上的复结构　58　

1.10.2　为什么阿尔福斯-贝尔斯-劳赫的复结构合理?　62　

1.10.3　为何周期映射是全纯的很重要?　65　

1.10.4　模空间上的性质和*　66　

1.10.5　细的和粗的模空间的定义　67　

1.10.6　阿尔福斯和贝尔斯的复结构是合适的　68　

1.11　代数曲线的模空间　69　

1.11.1　Mg作为*个代数簇　69　

1.11.2　几何不变量理论和Mg进*步性质　71　

1.12　紧复流形的形变　73　

1.12.1　小平邦彦-斯潘塞的形变理论　73　

1.12.2　霍奇结构簇　78　

1.13　塞尔贝格在格上的工作与猜想　79　

1.13.1　塞尔贝格的工作和局*刚性　80　

1.13.2　塞尔贝格在算术性的猜想　82　

1.14　莫斯托关于局*对称空间的强刚性　83　

1.14.1　强刚性和它的历史　83　

1.14.2　莫斯托强刚性的证明　85　

1.15　复流形的刚性　86　

1.15.1　刚性的概念　86　

1.15.2　复射影空间的强刚性　86　

1.15.3　埃尔米*局*对称空间的刚性　86　

1.15.4　刚性和算术性　87　

1.15.5　局*对称埃尔米*空间的局*刚性和定义的域　88

1.16　马尔古利斯*刚性和格的算术性　88　

1.16.1　*刚性　89　

1.16.2　*刚性的推论　90　

1.17　*不结束的故事　91　

参考文献　97　

2　广义相对论中的拟局*质量和等周曲面　史宇光

2.1　等周问题的历史及若干影响　107　

2.2　各种曲率假设下的等周面积比较定理　108　

参考文献　116　

3　法诺簇的代数K-稳定性理论　许晨阳　

3.1　历史简介　119　

3.2　法诺簇的K-稳定性理论　120　

3.3　法诺簇的K-模空间　122　

3.4　显式例子　124　

3.4.1　|KX|Q的奇点不变量　124　

3.4.2　模空间方法　125　

3.4.3　未知情形　126　

参考文献　126　

4　完全非线性偏微分方程及相关的几何问题　关波

4.1　引言　130　

4.2　偏微分方程在几何、分析中应用的例子　130　

4.2.1　等周不等式　131　

4.2.2　Alexandrov*大值原理　133　

4.2.3　Sobolev不等式和Monge-Ampère方程　134　

4.2.4　常平均曲率闭曲面和Alexandrov定理　136　

4.3　几何问题中Monge-Ampère方程及其推广　139　

4.3.1　Minkowski问题　140　

4.3.2　Alexandrov-Chern Minkowski问题　141　

4.3.3　Weyl等距嵌入问题　143　

4.3.4　Calabi猜想和复Monge-Ampère方程　145　

4.3.5　Mabuchi度量和Donaldson猜想　146　

4.4　黎曼流形上的*类完全非线性椭圆偏微分方程　148　

4.4.1　Dirichlet问题　149　

4.4.2　闭流形上的完全非线性方程　151　

参考文献　151

5　Langlands纲领的近期进展　李文威　

5.1　引言　153　

5.2　自守形式　153　

5.2.1　起源:上半平面　153　

5.2.2　复环面的模空间　154　

5.2.3　*般理论　156　

5.3　表示理论的观点　157　

5.3.1　过渡　157　

5.3.2　谱分解　158　

5.3.3　间奏:赋值和adèle环　159　

5.3.4　回到谱分解　160　

5.3.5　光滑表示　161　

5.4　Langlands纲领　162　

5.4.1　Langlands对偶群　162　

5.4.2　非分歧表示　162　

5.4.3　L-函数　163　

5.4.4　Langlands函子性　164　

5.4.5　Langlands对应　165　

5.4.6　几何、算术与分析　166　

5.5　函数域情形:Weil的见解　167　

5.5.1　Dedekind-Kronecker-Weil的洞见　167　

5.5.2　挠子的模空间　168　

5.5.3　数域上的*种类比　169　

5.5.4　函数域上实现整体Langlands对应的思路　170　

5.6　Lafforgue工作的概述　171　

5.6.1　Hecke叠和shtuka　171　

5.6.2　上同调　172　

5.6.3　巡游算子或S-算子　173　

5.7　几何Langlands纲领　174　

5.7.1　几何化的线索　174　

5.7.2　范畴化　175　

5.8　量子Langlands纲领概述　175　

参考文献　176　

6　几何与表示掠影　付*华　

6.1　引子:正多面体　177

6.2　SL(2,C)中有限子群的表示　178　

6.3　克莱因奇点及其*小解消　181　

6.4　McKay对应及其发展　182　

6.5　幂零轨道　184　

6.6　Springer解消　185　

6.7　Springer对应　188　

6.8　McKay遇见Springer?　191　

参考文献　192　

7　量子克隆　骆顺龙

7.1　两朵乌云　194　

7.2　机械观之兴衰　196　

7.3　量子克隆之前世　199　

7.4　量子克隆之今生　207　

7.5　量子信息　212　

7.6　若干课题　214　

参考文献　220　

8　量子可积系统新进展——非对角Bethe Ansatz方法　杨文力

8.1　量子可积模型介绍　228　

8.2　非对角Bethe Ansatz方法　230　

8.3　拓扑自旋环　232　

8.3.1　构造Bethe态　236　

8.4　非平行边界的自旋链　238　

8.4.1　非平行边界的XXX自旋链　238　

8.4.2　非平行边界的XXZ自旋链　243　

8.4.3　XXZ自旋链的热力学*限和表面能　246　

8.5　总结和展望　248　

参考文献　248

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