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《运筹学》系统地阐述了运筹学的各主要分支：线性规划、运输问题、整数规划、目标规划、非线性规划、动态规划、图与网络分析、网络计划技术、决策分析、矩阵对策、预测的数学模型、基本概念以及求解这些问题的实用方法。

目录

前言

第1章 线性规划 1

1.1 数学模型 1

1.1.1 问题的提出 1

1.1.2 线性规划问题的标准型 3

1.2 解的概念及其几何解释 4

1.2.1 解的概念 4

1.2.2 两个变量线性规划问题的图解法 6

1.3 基本理论 9

1.3.1 凸集 9

1.3.2 几个定理 10

1.4 单纯形法 12

1.4.1 单纯形法的导出 12

1.4.2 判别准则 14

1.4.3 单纯形表 15

1.4.4 退化情形 17

1.5 人工变量法 18

1.5.1 大M法 18

1.5.2 二阶段法 19

1.6 对偶理论 22

1.6.1 问题的提出 22

1.6.2 对偶问题的表示 23

1.6.3 对偶问题的基本性质 26

1.6.4 影子价格 30

1.7 敏度分析 32

1.7.1 Bi的变化分析 33

1.7.2 对偶单纯形法 34

1.7.3 目标系数cj的变化 35

1.7.4 技术系数aij的变化 36

1.7.5 新的资源限制 38

1.8 内点法 40

1.8.1 投影调比算法 41

1.8.2 仿射调比算法 46

习题 48

第2章 运输问题 52

2.1 数学模型 52

2.2 表上作业法 54

2.2.1 确定初始调运方案 55

2.2.2 计算检验数 57

2.2.3 调整方案 60

2.3 产销不平衡的情形 61

2.3.1 产大于销 61

2.3.2 供不应求 62

2.4 进一步的讨论 64

2.4.1 目标函数极大化问题 64

2.4.2 无运输路线的情形 64

2.4.3 转运问题 65

习题 68

第3章 整数规划 71

3.1 数学模型 71

3.2 分支定界法 74

3.3 0-1规划问题 77

3.4 指派问题 79

3.4.1 数学模型 79

3.4.2 圈零法 80

3.4.3 匈牙利法 82

3.4.4 进一步的讨论 84

3.5 割平面法 86

3.5.1 理论分析 86

3.5.2 算法 88

习题 90

第4章 目标规划 92

4.1 数学模型 92

4.2 图解法 96

4.3 序贯算法 98

4.4 单纯形法 100

习题 101

第5章 非线性规划Ⅰ——无约束问题 104

5.1 基本知识 104

5.1.1 数学模型 104

5.1.2 凸函数 105

5.1.3 无约束优化问题的**性条件

5.1.4 解无约束优化问题下降算法的一般理论 107

5.1.5 算法的收敛速度和终止条件 109

5.2 线搜索技术 110

5.2.1 精确线搜索 110

5.2.2 对分搜索法 112

5.2.3 0.618法 113

5.2.4 二次插值法 113

5.2.5 非精确线搜索 115

5.3 *速下降法 115

5.4 牛顿法 117

5.4.1 牛顿方向 117

5.4.2 Gill-Murray阻尼牛顿法 118

5.4.3 折线法 119

5.5 拟牛顿法 120

5.5.1 拟牛顿迭代 120

5.5.2 两个著名的拟牛顿校正公式 121

5.5.3 Broyden族 125

5.6 共扼梯度法 126

5.6.1 共轭方向 126

5.6.2 算法与性质 127

5.6.3 共扼参数的选取 129

5.6.4 再开始策略 130

5.7 直接法 130

5.7.1 可变多面体搜索法 131

5.7.2 Powell共辄方向法 133

5.8 非线性*小二乘问题 135

5.8.1 问题的提出 135

5.8.2 高斯-牛顿法 136

5.8.3 直交化法 137

5.8.4 Levenberg-Marquardt方案 140

习题 138

第6章 非线性规划Ⅱ——约束问题 140

6.1 约束非线性规划问题的**性条件 140

6.1.1 等式约束问题的**性条件 140

6.1.2 不等式约束问题的**性条件 142

6.1.3 一般约束非线性规划问题的**性条件 147

6.2 线性约束问题 148

6.2.1 寻优方向 148

6.2.2 Zoutendijk可行方向法 150

6.2.3 Rosen投影梯度法 151

6.3 非线性约束问题

习题 157

第7章 动态规划 159

7.1 引例 159

7.2 建模原理 160

7.2.1 概念和术语 160

7.2.2 建模步骤 163

7.3 资源分配问题 163

7.4 可靠性问题 168

7.5 生产-库存问题 172

习题 176

第8章 图与网络分析 179

8.1 基本知识 179

8.2 *短路问题 180

8.3 **流问题 丄82

习题 187

第9章 网络计划技术 190

9.1 网络图 I90

9.2 关键线路 193

9.2.1 网络参数 193

9.2.2 网络参数的计算 195

9.3 网络计划的优化 工97

9.3.1 **成本施工计划 197

9.3.2 有限资源的均衡分配 200

9.4 计划评审法 206

习题 209

第10章 决策分析 212

10.1 确定型决策 212

10.2 不确定型决策 214

10.3 风险决策 217

10.3.1 决策树 217

10.3.2 益损值表 219

10.3.3 后悔值表 220

10.3.4 转折概率与边际分析法 221

10.3.5 贝叶斯决策 223

10.4 效用理论 226

10.4.1 效用值的确定 227

10.4.2 效用理论在风险决策中的应用 228

10.5 马尔可夫决策 230

10.6 层次分析法 234

习题 238

第11章 矩阵对策 242

11.1 对策模型 242

11.2 **纯策略 243

11.3 **混合策略 247

11.4 解矩阵对策问题 248

11.4.1 二阶矩阵对策 248

11.4.2 一般矩阵对策问题 250

11.4.3 线性规划解法 254

习题 257

第12章 预测 260

12.1 定性预测法 260

12.2 时间序列预测法 261

12.2.1 移动平均预测法 261

12.2.2 指数平滑法 263

12.2.3 自适应指数平滑法 265

12.3 线性回归预测法 267

12.3.1 一元线性回归预测法 267

12.3.2 二元线性回归预测法 271

习题 273

参考文献 274

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第1章 线性规划

　　线性规划（linear programming）是运筹学中经典且又相对比较成熟的分支.1947年美国学者G B Dantzig对求解线性规划问题提出了易于在计算机上实现的单纯形法.单纯形法的出现大大促进了线性规划在管理科学领域的广泛应用.经过多年的研究，贝尔实验室的N.K.Karmarkar于1984年对线性规划问题提出了一个全新的内点迭代求解模式，即投影尺度算法.该算法为研究大型线性规划问题的数值解法提供了新的有效途径.本章在引入线性规划问题标准型的基础上，介绍了求解线性规划问题的单纯形法和调比仿射型内点法.

　　1.1 数学模型

　　1.1.1 问题的提出

　　例1.1 （营养问题）设成人每天需要的维生素A、维生素B、维生素C的**量及甲、乙、丙、丁四种食品每单位含这些维生素的数量如表1.1所示.应如何搭配这四种食物，使得既能满足人体需要又花费*少？

　　表1.1

　　解设甲、乙、丙、丁四种食品分别按，A的单位数量进行搭配，则

　　本例中，引入向量和矩阵记号

　　例1.2 （生产计划问题）某厂甲、乙、丙三个车间生产A、B、C、D、E五种产品，具体工况如表1.2所示.应如何安排生产可使该厂在现有条件下日产值**？

　　表1.2

　　解 设，5分别表示五种产品的生产计划数，则

　　写成矩阵、向量形式

　　其中

　　例1.1和例1.2所导出的数学模型具有一个共同点：它们都是在一组线性约束条件下求某个线性函数的极值.在运筹学中，通常将此类问题称之为线性规划问题.

　　1.1.2 线性规划问题的标准型

　　例1.1、例1.2分别是“极小”和“极大”型线性规划问题，其约束不等式有的是“小于等于”，有的是“大于等于为了便于讨论，有必要给出线性规划模型的标准型：

　　（1.1.1）

　　其中；是决策变量，是决策变量的目标系数向量，是约束系数矩阵，是约束右端向量.

　　本书给出的标准型（1.1.1）具有3个特点：目标函数求极小，约束条件为等式，决策变量及右端向量为非负.怎样将1个一般的线性规划问题化为标准型呢？下列做法为此提供了便于操作的途径.

　　（1）对于目标函数极大化问题，可将目标函数改写为.

　　（2）对于小于等于的不等式约束应引入松弛变量，将其化为等式，即.

　　（3）对于大于等于的不等式约束应引入剩余变量而，将其化为等式，即.

　　（4）对于右端常数项为负值的等式、不等式约束，须在等式、不等式约束两边同乘.

　　（5）对于负变量.

　　（6）对于自由变量Xj，可令其等于两个非负变量之差.设而，则.

　　例1.3 将下列线性规划问题化为标准型

　　解 令，其中.引入，则原问题可化为

　　1.2 解的概念及其几何解释

　　为了便于对线性规划问题作进一步的理论分析，还须假设标准型（1.1.1）中约束系数矩阵义的秩为m，即rank（A）=m.

　　1.2.1 解的概念

　　在线性规划问题中，任何满足约束条件的x称为该问题的可行解，所有可行解构成的集合称为该问题的可行域，使目标函数值达到**的可行解称为该问题的**解.

　　考虑（LP）问题（1.1.1），设是约束系数矩阵A的m个线性无关向量，则称为该线性规划问题的基矩阵.B中的每一个列向量称为基向量，与基向量相应的变量称为基变量.A中不属于基矩阵B的列向量称为非基向量，与非基向量相应的变量称为非基变量，N表示由所有非基向量构成的非基矩阵.

　　不失一般性，假设约束系数矩阵A的前m列线性无关，则4可分块表示为

　　A=（BN），

　　相应地，z也可分块记为

　　其中XB表示所有的基变量，0^表示所有的非基变量.由Ac=6，则xB可表示为.

　　上式中，令，则

　　即

　　（1.2.1）

　　（1.2.1）式给出的x是对应于基B的解，简称基解.

　　显然，（LP）问题（1.1.1）的可行解未必是基解.另一方面，形如（1.2.1）式的基解是由约束条件Ac=b导出的，它不一定满足（LP）问题（1.1.1）中的非负约束，因此基解也未必是可行解.怎样才能将这两个概念联系起来呢？若（LP）问题

　　（1.1.1）的可行解；r至少含有n-m个零分量，其余m个分量为非负，并且这m个非负分量所对应的约束矩阵列向量线性无关，则称z为该线性规划问题的基可行解.事实上，基可行解可以理解为满足非负约束条件的基解，即可行的基解.

　　既然基解集合与可行解集合的交集构成了基可行解集合，那么这个集合是否一定非空呢？下面的定理回答了这个问题.

　　定理1.2.1 若（LP）问题（1.1.1）有非零可行解，则其必有基可行解.

　　证明 设是问题的一个可行解，且.令，则由Ax=b可知

　　（1.2.2）

　　情形1：若，k线性无关，则当时；r即为基可行解；当时，由线性代数理论可知，定能在4矩阵的列向量中找到另外个列向量，使得，Pm线性无关.这时，只要令尤的分量，则；r即为基可行解.

　　情形2：若，fc线性相关，则存在不全为零的实数，

　　使得

　　（1.2.3）

　　计算（1.2.2）式（1.2.3）式，得

　　（1.2.4）

　　对于，若至少有一个aj>0，则取

　　代入（1.2.4）式，得另一可行解

　　与原可行解r相比，（1.2.5）式所表示的新可行解5所含的正分量个数至多为，这就又回到了情形1的状况.经有限次循环后，*终可得一个基可行解.

　　对于所有的情形，讨论类似.

　　注释在（LP）问题（1.1.1）中，若基解的基变量中出现零分量，则称其为退化的基解；相应的基可行解称为退化的基可行解.

　　1.2.2 两个变量线性规划问题的图解法

　　对于仅含两个变量的线性规划问题，可以通过图解的方法求得其**解.运用图解法求解线性规划问题时，不必将其化为标准形.下面的算例给出了运用图解法求解线性规划问题的具体步骤.

　　例1.4 求解线性规划问题

　　解 步骤1：在直角坐标系中画出线性规划问题的可行域（图1.1）.

　　图1.1

　　步骤2：作目标函数的等值线.

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