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本书是微积分入门科普读物，以微积分的“思考方法”为核心，以生活例子通俗讲解了微积分的基本原理、公式推导以及实际应用意义，解答了微积分初学者遭遇的常见困惑。本书讲解循序渐进、生动亲切，没有烦琐计算、干涩理论，是一本只需“轻松阅读”便可以理解微积分原理的入门书。

▌第1章 积分是什么 1

积分的存在意义 2

积分应用的基础 2

所有图形都与长方形相通 5

近似的方法 8

和变为了积分 13

何为“接近精确值” 18

两个思想实验 20

椭圆的面积 20

地球的体积 25

切口的秘密 32

卡瓦列利原理 32

三分之一的原理 37

圆锥的体积 45

球的体积 48

球的表面积 54

感觉和逻辑 59

初中入学考试中的积分 59

像小学生那样求圆环体体积 67

把甜甜圈变成蛇的方法 69

帕普斯-古尔丁定理 73

▌第2章 微分是什么 77

微分存在的意义 78

分析钻石的价格 78

“亮出指数”的理由 86

乘积的微分公式 94

从未知到已知 97

商的微分公式 100

再次扩展幂函数的微分公式 102

丰富多彩的函数世界 105

山峰和山谷 105

了解切线 109

根据单调性表画函数图像 113

最大值和最小值、极大值和极小值 117

手绘函数图像的意义 119

存在休息平台的函数 121

有预谋地使用微分 128

理想的冰激凌蛋卷筒 128

“忽略”与“不可忽略”的界线 138

▌第3章 探寻微积分的可能性 141

1800年后的真相 142

反军队式学习法 142

伟大的发现会成为未来的常识 144

基本定理的使用方法 152

填坑 160

自然常数从何而来 160

无限接近于精确的值 164

关键在于根号 166

转换思路能行得通吗 169

指数函数出现了 175

让关系更清晰 178

唯一一个微分后不会发生变化的函数 181

弯曲也没问题 184

测量曲线的长度 184

简洁的悬链线公式 187

验证项链的长度 194

微积分的真身 199

微分的可能性 199

微分相关的冒险 202

近似和忽略 205

后记 207

尾注 209

神永正博（Kunihiko Kodaira）1967年出生于东京，理学博士，日本东北学院大学教授。曾在京都大学研究生院理学研究所（数学方向）进行博士后期课程学习。主要研究方向为解析学（作为量子力学基础方程式的薛定谔方程）以及密码理论。主要著作有《看穿谎言的统计学》《数学思考法》，另外审阅翻译的著作有《漫画统计学入门》等。

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制作散寿司非常麻烦。要先做醋拌饭，然后烹煮配菜。为组合各种食材，从制作的前一天就要开始采购，并悉心处理、加工，这是一项非常需要耐心的工作。

但是，因为制作者知道为达成目标需要做哪些事情，即便步骤繁杂，也能胸有成竹、有条不紊。这个过程中，最重要的是制作者观念中成型散寿司的形象。如果不告知目的是制作散寿司，就强迫人去费劲处理康吉鳗、窝斑鰶——无论忍耐力多强的人都会感到厌烦吧。

学校里教授微积分的方法和后者相近。优先并毫无遗漏地传授之后才会使用的知识。当万事俱备后，就以"之前学过这个知识了，接下来我们就使用这个方法"的方式往下学习。直到最后也不告诉学生这些方法的意义，而是生硬的把学生推到目的地。

军队式讲解方法的优点在于，必要时可以把已经学过的知识当作前提来讲解新的内容。这种方法很适合编写教科书，既可以节约纸张页数，又能缩短解释时间，对于要求在短时间内教授更多知识的学校教学体系，这种方法可以说是一种合适的选择。

但是，如果站在学习者的立场来看，情况就会发生变化，这种教学方法会让学习者在不知道终点的情况下，一直往前奔跑。虽说这是学习者的任务，但是没有目的的学习，还是稍微有些辛苦的。

因此本书尽可能用解决问题型的方法来讲解。如前文所述，微积分中存在某种目的，因此肯定存在解决的具体问题。

如书名所示，本书是一本微积分入门书。虽然是入门书，不过写到后面，却发现内容已经相当有深度。

这样的话，或许你会想：“是不是先得准备纸和铅笔？”

不用，我们不需要纸和铅笔。本书是一本只需要“读”的微积分入门书。请轻松地来阅读吧。

说起微积分，大家有什么印象？想必很多人会联想到棘手的计算吧。甚至还会有人想到这种情景——在学校的考试中，只是因为计算稍稍出错，就被大幅扣分，凄惨至极。

哎呀，这位姑娘似乎认为解决微积分问题，只要套用背诵的公式就足够了。这就是那种在学校的考试中掌握了应试要领的典型人物。

不过，对于如何看待微积分，还存在像上面这位博士一样的一类人，他们的看法在某种意义上略显偏激。这种人在学校里可能难以被认可，不过在社会中似乎能生存下去。

本书讲解微积分选择的是这位博士的立场。因为我认为，虽然会计算微积分更好，但最开始学习微积分时，重点并不在计算上。

数学家是擅长数学的人，所以他们也很擅长计算吧？不，不一定是这样的。令人意外的是，数学家不仅会有不少单纯的计算失误，而且也常常会在思路上出现错误。

创立了组合拓扑学的天才数学家亨利•庞加莱也是经常犯错误的，据说就连他的论文中也存在不少错误。

但是，庞加莱思考的方向在本质上是准确无误的。只要思考的方向正确，即使稍微出点儿差错，对整体而言也并不是致命的。在学校，考试之所以依据计算结果的正确与否来确定成绩，是因为根据思路来给分数比较困难。

我喜欢南方的国家，2010 年曾在印度生活了一年。在金奈（Chennai，旧称 Madras）的一所数理科学研究所做研究时，深深吸引我的不仅是印度这个国家，还有印度人的研究方法。

其中令人惊讶的是，印度的研究者不怎么计算。当然，并不是完全不计算，而是与计算相比，他们在思考上花费的时间更长。我甚至怀疑他们这样是不是为了节约纸。“只要有纸和铅笔就能够做研究”是数学家的口头禅，但是印度人可能会笑道：“难...

地球每天自转一周，而且自转的速度相当快，赤道附近的速度可达1700kmh，是音速的138倍大家可以想象一下地球这种快速旋转的姿态，在这种情况下，由于离心力的作用，地球被横向拉伸也是理所当然的。

将思考应用于实际，用自己的力量去推导面积、体积，这才是积分的乐趣，也是学习积分的真正意义。

在此基础之上，我们选取一条度△x的短条。△是希腊字母，读作“德尔塔”（ Delta），多用作“差”（ difference）的符号，表示非常小的数值。

左端公式中那个像把字母S纵向拉长的符号音同 integral（积分）积分原本就是“和”的意思，因此积分符号也是取自拉丁语中和”的单词 Summa的首字母S。

书籍介绍

本书是微积分入门科普读物，以微积分的“思考方法”为核心，以生活例子通俗讲解了微积分的基本原理、公式推导以及实际应用意义，解答了微积分初学者遭遇的常见困惑。本书讲解循序渐进、生动亲切，没有烦琐计算、干涩理论，是一本只需“轻松阅读”便可以理解微积分原理的入门书。